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Schwartz 阅读笔记

Schwartz 2.3.2

2026年4月26日 约 1 分钟

勘误

这个 ϕ0\phi_0 的下标 00 似乎是凭空出现的，此处应该是用下标 00 表示考虑的是自由场，但是从（2.82）到（2.85）都没有使用下标，因此这一段应该将所有的 ϕ\phi 都理解为 ϕ0\phi_0 。

笔记

对“low-energy/large mass” 极限的理解

p⃗↔−i∇⃗⇒m2−∇⃗2↔m2+p⃗2\vec{p}\leftrightarrow -i\vec{\nabla}\Rightarrow \sqrt{m^2-\vec{\nabla}^2}\leftrightarrow \sqrt{m^2+\vec{p}^2} m2−p⃗2=m1−(∣p⃗∣m)2\sqrt{m^2-\vec{p}^2}=m\sqrt{1-\left( \frac{\left| \vec{p} \right|}{m} \right) ^2}

记δ=(∣p⃗∣m)2\delta =\left( \frac{\left| \vec{p} \right|}{m} \right) ^2，在低速极限下

δ=(∣p⃗∣m)2=(∣v⃗∣c)2≈0\delta =\left( \frac{\left| \vec{p} \right|}{m} \right) ^2=\left( \frac{\left| \vec{v} \right|}{c} \right) ^2\approx 0 m2+p⃗2=m1+δ=m(1+12δ+O(δ2))≈m+m2δ=m+p⃗22m\sqrt{m^2+\vec{p}^2}=m\sqrt{1+\delta}=m\left( 1+\frac{1}{2}\delta +\mathcal{O} \left( \delta ^2 \right) \right) \approx m+\frac{m}{2}\delta =m+\frac{\vec{p}^2}{2m}

而

m+p⃗22m↔m−∇⃗22mm+\frac{\vec{p}^2}{2m}\leftrightarrow m-\frac{\vec{\nabla}^2}{2m}

因此此处的“low-energy/large-mass” 极限其实就是∣v⃗∣≪c\left| \vec{v} \right|\ll c的非相对论极限。